MECÂNICA QUÂNTICA TENSORIAL E OPERACIONAL DE GRACELI.

TENSOR DE ANCELMO L. GRACELI.

O TENSOR DE GRACELI REPRESENTA OSCILAÇÕES, ONDULAÇÕES, VARIAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES VIBRAÇÕES , ETC EM RELAÇÃO AO TEMPO, OU DENTRO DE UM SISTEMA QUÂNTICO.

COMO ESFERAS VIBRANDO E INTERAGINDO, OSCILANDO, EM ENTROPIA, DENTRO DE SISTEMAS DE CAMPOS E SISTEMAS TÉRMICOS, ETC.

OU MESMO UM SACO PLÁSTICO CHEIO DE ÁGUA, UMA TARRAFA AO SER JOGADA AO MAR, ETC.

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

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O TENSOR DE GRACELI REPRESENTA OSCILAÇÕES, ONDULAÇÕES, VARIAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES VIBRAÇÕES , ETC EM RELAÇÃO AO TEMPO, OU DENTRO DE UM SISTEMA QUÂNTICO.

COMO ESFERAS VIBRANDO E INTERAGINDO, OSCILANDO, EM ENTROPIA, DENTRO DE SISTEMAS DE CAMPOS E SISTEMAS TÉRMICOS, ETC.

OU MESMO UM SACO PLÁSTICO CHEIO DE ÁGUA, UMA TARRAFA AO SER JOGADA AO MAR, ETC.

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $\psi$ / $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ / [ $E=mc^{2}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[ $E=mc^{2}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $\psi$ / $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ [/ $E=mc^{2}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

TENSOR DE ANCELMO L. GRACELI.

O TENSOR DE GRACELI REPRESENTA OSCILAÇÕES, ONDULAÇÕES, VARIAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES VIBRAÇÕES , ETC EM RELAÇÃO AO TEMPO, OU DENTRO DE UM SISTEMA QUÂNTICO.

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OU MESMO UM SACO PLÁSTICO CHEIO DE ÁGUA, UMA TARRAFA AO SER JOGADA AO MAR, ETC.

$G_{\mu \nu }\$ $G_{\mu \nu }\$ $ψ$ / ${\mathcal {T}}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G_{\mu \nu }\$ $ψ$ / ${\mathcal {T}}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Em termodinâmica, o potencial químico $\mu$ de um elemento, também conhecida como a energia livre parcial molar, é uma forma de energia potencial que pode ser absorvida ou liberada durante uma Reação química. Também pode ser importante durante uma Transição de fase. O potencial químico de uma espécie numa mistura pode ser definido como a inclinação da energia livre do sistema no que diz respeito a uma alteração no número de moles de apenas aquela espécie. Assim, é uma derivada parcial da energia livre no que diz respeito à quantidade da espécie, todas as outras concentrações de espécies presentes na mistura mantendo-se constante, e a uma temperatura constante. Quando a pressão é constante, o potencial químico é a Energia livre de Gibbs molar. Em condições de Equilíbrio químico ou em fase de equilíbrio, a soma total dos potenciais químicos é zero, assim como a energia livre está no mínimo.

O potencial químico pode ser considerado a força motriz para a difusão de átomos, num sentido amplo da palavra.

Em física de semicondutores, o potencial químico de um sistema de elétrons a uma temperatura igual a zero Kelvin é conhecida como a energia de fermi.

Visão geral

Partículas tendem a se mover de potencial químico maior para potencial químico menor já que há a redução de energia livre. Desta forma, o potencial químico é uma generalização de "potenciais" na física como potencial gravitacional. Quando uma bola rola ladeira abaixo, ela está se movendo de um estado de maior energia potencial gravitacional (maior energia interna portanto maior potencial para trabalho) para um estado de menor energia potencial gravitacional (menor energia interna). Da mesma forma, quando moléculas se movem, reagem, dissolvem, derretem, etc., elas sempre tenderão naturalmente a ir de um estado de potencial químico maior para um potencial químico menor, mudando o número de partícula, o que é a variável conjugada para o potencial químico.

Um exemplo simples é um sistema de moléculas diluídas difundindo em um ambiente homogêneo. Neste sistema, as moléculas tendem a ir de áreas com alta concentração para baixa concentração, até que, eventualmente, a concentração é a mesma em todos os locais. A explicação microscópica para isso é baseada na teoria cinética e o movimento aleatório de moléculas. No entanto, é mais simples descrever o processo em termos de potenciais químicos: para uma dada temperatura, uma molécula tem um potencial químico maior em uma área de maior concentração e um potencial químico menor em uma área de baixa concentração. Movimento de moléculas de alto potencial químico para menor potencial químico é acompanhado por uma liberação de energia livre. Portanto, é um processo espontâneo.

Outro exemplo não baseado em concentração mas sim em fase, é um cubo de gelo num prato acima de 0 °C. Uma molécula de H₂0 que está na fase sólida (gelo) tem um potencial químico maior do que uma molécula que está na fase líquida (água) acima de 0 °C. Quando um pouco do gelo derrete, moléculas de H₂0 se convertem de sólido para o líquido mais quente em que o seu potencial químico é menor, então o cubo de gelo encolhe. À temperatura do ponto de fusão, 0 °C, os potenciais químicos na água e no gelo são os mesmos; o cubo de gelo não cresce nem diminui e o sistema está em equilíbrio termodinâmico.

Um terceiro exemplo está ilustrado pela reação química da dissociação de um ácido fraco HA (como o ácido acético, A = CH₃COO⁻):

H⁺ + A⁻

Vinagre contém ácido acético. Quando as moléculas de ácido dissociam, a concentração das moléculas de ácido não dissociado (HA) diminui e as concentrações do íons-produto (H⁺ e A⁻) aumentam. Quando a soma dos potenciais químicos dos reagentes e produtos são iguais, o sistema está em equilíbrio e, portanto, não há tendência da reação prosseguir tanto para frente quanto para trás. Isso explica o porquê de vinagre ser ácido, pois ácido acético dissocia até certo ponto, liberando íons de hidrogênio na solução.

Potenciais químicos são importantes em muitos aspectos da química de equilíbrio, incluindo ponto de fusão, ponto de ebulição, evaporação, solubilidade, osmose, coeficiente de partição, extração líquido-líquido e cromatografia. Em cada caso, o potencial químico de uma dada espécie no equilíbrio é o mesmo em todas as fases do sistema.^[1] Em eletroquímica, íons nem sempre tendem a ir de um maior a um menor potencial químico, mas eles sempre vão de um maior a um menor potencial eletroquímico. O potencial eletroquímico caracteriza completamente todas as influências do movimento de um íon, enquanto o potencial químico inclui tudo exceto a força elétrica.

Definição termodinâmica

O potencial químico μ_i da espécie i (atômico, molecular e nuclear) é definido, como todas as propriedades intensivas são, pela equação fundamental da termodinâmica fenomenológica. Isto é mantido para processos reversíveis tanto quanto processos irreversíveis infinitesimais: ^[2]

\mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-P\,\mathrm {d} V+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i},

onde dU é a mudança infinitesimal de energia interna U, dS a mudança infinitesimal de entropia S e dV a mudança infinitesimal de volume V para um sistema termodinâmico em equilíbrio térmico, e dN_i é a mudança infinitesimal do número de partícula N_i da espécie i quando partículas são adicionadas ou subtraídas. T é a temperatura absoluta, S é entropia, P é a pressão e V é o volume. Outros termos de trabalho como aqueles que envolvem campos elétrico, magnético ou gravitacional podem ser adicionados.

A partir da equação acima, o potencial químico é dado por

\mu _{i}=\left({\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right)_{S,V,N_{j\neq i}}.

Isto é porque a energia interna U é uma função de estado, então se a sua diferencial existe, então a diferencial é uma diferencial exata, como

\mathrm {d} U=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}\right)\mathrm {d} x_{i}

para variáveis independentes x₁, x₂, ... , x_N de U.

Essa expressão do potencial químico como uma derivada parcial de U com respeito ao número de partícula correspondente de tal espécie é inconveniente para sistemas de matéria condensada, como soluções químicas, uma vez que é difícil controlar o volume e a entropia para serem constantes enquanto partículas são adicionadas. Uma expressão mais conveniente pode ser obtida ao fazer uma transformada de Legendre para outro potencial termodinâmico: a energia livre de Gibbs $G=U+PV-TS$ . Da diferencial $\mathrm {d} G=\mathrm {d} U+P\,\mathrm {d} V+V\,\mathrm {d} P-T\,\mathrm {d} S-S\,\mathrm {d} T$ (para $� �$ e $� �$ , a regra do produto é aplicada) e usando a expressão acima para $\mathrm {d} U$ , uma relação diferencial para $\mathrm {d} G$ é obtida:

\mathrm {d} G=-S\,\mathrm {d} T+V\,\mathrm {d} P+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}.

Como consequência, outra expressão para $\mu _{i}$ resulta em:

\mu _{i}=\left({\frac {\partial G}{\partial N_{i}}}\right)_{T,P,N_{j\neq i}},

e a mudança em energia livre de Gibbs de um sistema que está em temperatura e pressão constante é simplesmente

\mathrm {d} G=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}.

Em equilíbrio termodinâmico, quando o sistema em questão está a temperatura e pressão constante mas podem trocar partículas com o ambiente exterior, a energia livre de Gibbs está no mínimo para o sistema, isto é $\mathrm {d} G=0$ . Segue que

\mu _{1}\,\mathrm {d} N_{1}+\mu _{2}\,\mathrm {d} N_{2}+\dots =0.

O uso desta igualdade provém os meios para estabelecer a constante de equilíbrio para uma reação química.

Por fazer mais transformações de Legendre de U a outros potenciais termodinâmicos como a entalpia $H=U+PV$ e a energia livre de Helmholtz $F=U-TS$ , expressões para o potencial químico podem ser obtidos em termos dos seguintes:

\mu _{i}=\left({\frac {\partial H}{\partial N_{i}}}\right)_{S,P,N_{j\neq i}},

\mu _{i}=\left({\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}\right)_{T,V,N_{j\neq i}}.

Estas formas diferentes para o potencial químico são todas equivalentes, o que significa que elas têm o mesmo conteúdo físico e podem ser útil em diferentes situações físicas.

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ [ $\mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-P\,\mathrm {d} V+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i},$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ [ $\mu _{i}=\left({\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right)_{S,V,N_{j\neq i}}.$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ [ $\mathrm {d} G=-S\,\mathrm {d} T+V\,\mathrm {d} P+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}.$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ [ $\mu _{i}=\left({\frac {\partial G}{\partial N_{i}}}\right)_{T,P,N_{j\neq i}},$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ [ $\mathrm {d} G=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}.$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ [ $\mu _{i}=\left({\frac {\partial H}{\partial N_{i}}}\right)_{S,P,N_{j\neq i}},$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ [ $\mu _{i}=\left({\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}\right)_{T,V,N_{j\neq i}}.$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Uma estatística quantica, no contexto da mecânica quântica e no da mecânica estatística, é a descrição de como a energia de cada um dos entes unitários constituintes de um ensemble está distribuida, dada uma energia total E constante, sob a restrição de que:

a energia passa a ser quantizada;
as partículas objeto de estudo passam a ser indistinguíveis.

Isso é feito expressando-se as probabilidades relativas de uma partícula com energia $E_{n}$

De modo clássico, a probabilidade é dada por:

P\left(E_{n}\right)={\frac {1}{Q}}\exp \left(-E_{n}/kT\right)

onde

Q=\sum _{j}\exp \left(-E_{j}/kT\right)

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ [ $P\left(E_{n}\right)={\frac {1}{Q}}\exp \left(-E_{n}/kT\right)$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ $.[$ $Q=\sum _{j}\exp \left(-E_{j}/kT\right)$ ]= $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Estatística de Fermi-Dirac

Onde $g(\epsilon )$ é a densidade de estados, de modo que $g(\epsilon )d\epsilon$ fornece o número de estados com energia entre $\epsilon$ e $\epsilon +d\epsilon$ . E $F(\epsilon )$ é a chama função de Fermi, dada por^[5]

$F(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ / [ $F(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

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